核心误解的解释

这个误解很常见，我来从几个角度解释为什么"先选一个再选一个"（C₁₀¹ × C₉¹）实际上引入了顺序，即使使用的是组合数C而不是排列数P。

1. "先后"本身就是顺序

当我们说"先选第一个盒子，再选第二个盒子"时，我们已经在描述中引入了时间顺序。这种表述方式自然地将两个盒子区分为"第一个被选的"和"第二个被选的"，赋予了它们不同的身份。

2. 标签效应

使用C₁₀¹选择第一个盒子，使用C₉¹选择第二个盒子，实际上我们给这两个盒子贴上了不同的标签：

• 一个盒子被标记为"第一个特定盒子"

• 另一个盒子被标记为"第二个特定盒子"

这些标签使得原本相同的盒子被区分开来。

3. 数学证明：计数重复

让我用一个简单的例子来证明：

假设我们有盒子A、B、C，我们要选择两个盒子。

如果盒子是相同的（不区分顺序），选择A和B与选择B和A应该是同一种情况。

但使用C₃¹ × C₂¹的方法：

• 选择A作为第一个盒子，B作为第二个盒子：这是一种情况

• 选择B作为第一个盒子，A作为第二个盒子：这又被计算为一种情况

这就导致了重复计数！

4. 组合数的连乘不等于组合数

一个关键的数学事实是：

• C₁₀¹ × C₉¹ ≠ C₁₀²

• C₁₀¹ × C₉¹ = 10 × 9 = 90

• C₁₀² = 45

这两个表达式计算的结果不同，说明它们代表不同的计数方式。

5. 等价于排列数的证明

我们可以证明：

• C₁₀¹ × C₉¹ = 10 × 9 = 90

• P₁₀² = 10 × 9 = 90

这表明C₁₀¹ × C₉¹实际上等同于排列数P₁₀²，而排列数是明确考虑顺序的。

直观理解方法

方法一：画图法

画一个决策树：

1. 第一层：从10个盒子中选择1个作为"第一个特定盒子"（10个分支）

2. 第二层：从剩下的9个盒子中选择1个作为"第二个特定盒子"（每个第一层分支下有9个分支）

总共有10×9=90个叶子节点，表示90种不同的选择方式。

但如果盒子是相同的，我们应该只有45种不同的选择方式（C₁₀²）。

方法二：具体例子法

假设我们只关心盒子1和盒子2：

• 使用C₁₀¹ × C₉¹方法：

  • 选择盒子1作为第一个特定盒子，盒子2作为第二个特定盒子

  • 选择盒子2作为第一个特定盒子，盒子1作为第二个特定盒子

  这被计算为两种不同的情况！

• 使用C₁₀²方法：

  • 选择盒子1和盒子2（不区分顺序）

  这只被计算为一种情况。

结论

"先选一个再选一个"（C₁₀¹ × C₉¹）的方法虽然看起来很自然，但它实际上：

1. 引入了选择的先后顺序

2. 给盒子赋予了不同的角色（"第一个特定盒子"和"第二个特定盒子"）

3. 导致了重复计数

4. 在数学上等同于排列数P₁₀²，而不是组合数C₁₀²

因此，如果盒子是相同的，正确的计算方式应该是使用C₁₀²=45，而不是C₁₀¹ × C₉¹=90。